Derivata funcției

 Prima temă în manualul de clasa XII este recapitularea noțiunii de derivată a funcției. Este înțeles, că această temă este absolut necesară, deoarece noțiunile de primitivă, integrală nedefinită și cea definită este imposibil de introdus fără noțiunea de derivată a funcției.
Ce este o derivată? În manualul de liceu, dar și în toate manualele de analiză matematică derivata unei funcții este dată de formula:

Sincer vorbind, eu am văzut elevi buni, care au învățat această formulă, și puteau să o spună la perfecție, să găsească derivate conform formulelor, dar să înțeleagă ce este întradevăr o derivată a funcției n-am văzut nici un elev. Întradevăr această noțiune este greu de înțeles pentru majoritatea elevilor, și sincer vorbind, eu, avînd nota 10 la Analiza matematică la Universitate, am înțeles această noțiune mult mai tîrziu.

Ce este totuși derivata funcției? Derivata funcției ne arată, cît de repede crește (sau descrește) o funcție, mai bine zis viteza de creștere (sau de descreștere) a unei funcții. Dacă veți înțelege acest lucru, veți înțelege foarte ușor sensul fizic sau geometric al derivatei, rolul semenelor derivatei, precum și alte chestiuni.

Ca să fie mai clar, să dăm un exemplu. Pe grafic sunt reperezentate trei funcții:

Care funcție, după părerea voastră crește mai repede? Evident că a treia, adică derivata acestei funcții va avea cea mai mare valoare.

Încă un exemplu: Constantin, Grigore și Matei au învestit concomitent aceeași sumă de bani, pentru a obține venit. Cum s-au schimbat finanțele băieților, priviți pe desen:

Este clar, că cel mai bine a învestit banii Constantin, deoarece venitul s-a mărit de două ori. Și Grigore a obținut venit, dar mai puțin. Matei, însă a avut de pierdut toți banii. Cum ne-am dat seama de acest lucru? Intuitiv, dar de aici înțelegem, că derivata funcției este modul cît de brusc crește funcția. Desigur, că în unele locuri funcția poate să crească mai repede, în altele mai încet, dar în unele cazuri chiar să descreacsă. De aceea, derivata și este definită în general nu de o singură valoare, dar de o careva lege, adică o altă funcție.

Dacă am tot pomenit de viteză, atunci țineți minte că acesta și este sensul fizic al derivatei. Priviți graficul:

După cum știm, distanța se schimbă datorită vitezei. Derivata funcției x(t) în punctul t0 este viteza momentană în punctul x(t0).

Dacă trebuie să vorbim despre sensul geometric al derivatei, atunci să privim următorul grafic:

Dreapta y=kx+b este tangenta la graficul funcției în punctul x0. Cu cît unghiul dintre această dreaptă și axa Ox este mai mare, cu atît și funcția va crește mai repede, adică valoarea derivatei în punctul x0 va fi mai mare. Tangenta acestui unghi se poate de calculat din triunghiul AMN. Pe de altă parte, coeficientul unghiular  k al dreptei și este valoarea tangentei unghiului căutat. De aceea, sensul geometric este: derivata funcției în punctul x0 este valoarea coeficientului unghiular al tangentei la graficul funcției în punctul x0.

Dragii mei elevi, faceți-vă numaidecît o copie pentru calculul derivatelor simple, reguli de derivare și derivatele funcțiilor compuse:

Derivate tabel

Iată și exercițiile, care aveți de rezolvat Exerciții Nu sunt chiar ușoare, dar BACul tot este greu. Nu uitați: fiecare rezolvă numărul exercițiului conform numărului său de ordine din registru.

Online, formulele nu sunt reflectate complet, dar dacă veți descărca documentul, el este bun pentru utilizare.

Sper că această picătură de teorie vă va fi de folos. Dar nu uitați, că practica totuși bate gramatica.